Kalender 2005

Oplossingen week 16 (18 april t/m 24 april)

Maandag 18 april

2003 =10022 − 10012
2005 =10032 − 10022
20052 = 4020025 = 20100132 − 20100122

Dinsdag 19 april

2k+1 = (k+1)2 − k2

Woensdag 20 april

612 = 112 + 602

Donderdag 21 april

Je krijgt de tafel van 8, want:
(2k+3)2 − (2k+1)2 = 8k + 8

Vrijdag 22 april

De drietallen k,a,b waarvoor geldt:
k > 2, a = 2n − 1 en b = 2n + 1 met n = 2 k−3.

Zaterdag 23 april

1999 is een priemgetal.
Het verschil van twee kwadraten is gelijk aan de som van een aantal opeenvolgende oneven getallen. Dit aantal is ofwel even, maar dan is de som ook even, ofwel oneven en dan is de som een veelvoud van het middelste oneven getal. In beide gevallen krijg je een getal dat geen priemgetal is, tenzij het aantal 1 is.
Met het merkwaardige produkt zie je het ook:
a2 − b2 = (a+b)(a−b), en bij een priemgetal moet a−b = 1.

Dus als enige mogelijkheid blijft over 1999 = 10002 − 9992.

2001 = 3 x 23 x 29 dus
2001 = 10012 − 10002 of
2001 = 3352 − 3322 etc.

Zondag 24 april

Als je een even getal als het verschil van twee kwadraten wilt schrijven moet het een veelvoud van 4 zijn, want het verschil van twee kwadraten is de som van een aantal opvolgende oneven getallen. Dit aantal moet even zijn, anders is de som oneven. De som van een even aantal opeenvolgende oneven getallen is altijd een veelvoud van 4, want het is een even aantal keer het gemiddelde van de oneven getallen en dit gemiddelde is zelf een even getal.
1998 is geen veelvoud van 4 dus is niet te schrijven als het verschil van twee kwadraten.