Kalender 2005

Oplossingen week 15 (11 april t/m 17 april)

We hanteren hieronder de 'modulo' notatie:
1999 = 3(mod 4) betekent: bij deling van 1999 door 4 is de rest 3.

Maandag 11 april

Een even getal is te schrijven als 2n en daarvoor geldt: (2n)² = 4n² = 0(mod 4)
Een oneven getal is te schrijven als 2n+1 en: (2n+1)² = 4n²+4n+1 = 1(mod 4).

Dinsdag 12 april

Voor elk getal n geldt: n² = 0 of 1(mod 4).
Dus voor twee getallen n en m geldt: n²+m² = 0, 1 of 2(mod 4).
1999 = 3(mod 4) dus kan nooit geschreven worden als de som van twee kwadraten.

Woensdag 13 april

1997 = 34²+29²

Donderdag 14 april

De resten zijn repeterend: 1, 4, 1 en 0.
(4n)² = 16n² = 0(mod 8)
(4n+1)² = 16n²+8n+1 = 1(mod 8)
(4n+2)² = 16n²+16n+4 = 4(mod 8)
(4n+3)² = 16n²+24n+9 = 1(mod 8)
(4n+4)² = (4n)² = 0(mod 8), etc.

Vrijdag 15 april

1998 = 6(mod 8) en 6 kan niet geschreven worden als de som van twee getallen uit {0,1,4}.

Zaterdag 16 april

1999 = 7(mod 8) en 7 kan niet geschreven worden als de som van drie getallen uit {0,1,4}.

Zondag 17 april

Ieder getal dat gelijk is aan 7(mod 8) kan niet worden geschreven als de som van drie kwadraten, dus niet aleen 1999, maar ook 1999+8, etc. Er zijn dus oneindig veel van zulke getallen.