Kalender 2000 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Oplossingen week 48 (27 november t/m 3 december) Trapezium van schijven. Maandag 27 november: 14 kan niet in twee lagen (de som van twee opvolgende natuurlijke getallen is oneven), en ook niet in 3 lagen (de som van drie opvolgende natuurlijke getallen is deelbaar door 3), maar wel in 4 lagen: 14=2+3+4+5. Voor 5 of meer lagen is 14 te klein. Antwoord: 2 manieren. Dinsdag 28 november: Met dezelfde puzzel-methode als gisteren vind je dat 16 alleen in 1 laag kan, dus: 1 manier. Woensdag 29 november: Behalve voor het getal 1 is voor ieder oneven getal het aantal manieren minstens 2, want 2n+1=n+(n+1). Donderdag 30 november: Door proberen (van 1 af) vind je dat 9 het kleinste getal is waarmee het op precies 3 manieren kan: 9=4+5=2+3+4. Vrijdag 1 december: De gevraagde tabel kan weer met de puzzel-methode worden gemaakt,maar we geven hier een meer wiskundige aanpak. De som van opvolgende natuurlijke getallen is te schrijven als (k+1)+(k+2)+...+(k+m). Deze vorm is te herleiden tot m(2k+m+1)/2. We zoeken dus het aantal oplossingen van (*) m(2k+m+1)=2N voor N=1,2,...,20.Het verschil van de twee factoren in het linkerlid van (*) is 2k+1, dus oneven. Voor een oplossing moeten we dus 2N ontbinden in twee factoren van verschillende pariteit. De kleinste is dan nu m, de grootste is 2k+m+1. Voorbeeld: N=15, dus 2N=30.
In dit voorbeeld vinden we 4 oplossingen. Aangezien in de opgave alleen
het aantal oplossingen wordt gevraagd, is het uit schrijven niet nodig.
Voor willekeurige N is het aantal splitsingen dus gelijk aan het aantal
oneven delers van N (inclusief 1 en evt. N zelf).
Zaterdag 2 december: Uit de analyse van gisteren volgt meteen dat dat de machten van 2 zijn. Zondag 3 december: Het getal 3k-1 heeft k oneven delers voor iedere k>0, en voldoet dus aan de eis. |