Kalender 2000

Oplossingen week 48 (27 november t/m 3 december)

Trapezium van schijven.

Maandag 27 november:

14 kan niet in twee lagen (de som van twee opvolgende natuurlijke getallen is oneven), en ook niet in 3 lagen (de som van drie opvolgende natuurlijke getallen is deelbaar door 3), maar wel in 4 lagen: 14=2+3+4+5. Voor 5 of meer lagen is 14 te klein. Antwoord: 2 manieren.

Dinsdag 28 november:

Met dezelfde puzzel-methode als gisteren vind je dat 16 alleen in 1 laag kan, dus: 1 manier.

Woensdag 29 november:

Behalve voor het getal 1 is voor ieder oneven getal het aantal manieren minstens 2, want 2n+1=n+(n+1).

Donderdag 30 november:

Door proberen (van 1 af) vind je dat 9 het kleinste getal is waarmee het op precies 3 manieren kan: 9=4+5=2+3+4.

Vrijdag 1 december:

De gevraagde tabel kan weer met de puzzel-methode worden gemaakt,maar we geven hier een meer wiskundige aanpak. De som van opvolgende natuurlijke getallen is te schrijven als (k+1)+(k+2)+...+(k+m). Deze vorm is te herleiden tot m(2k+m+1)/2. We zoeken dus het aantal oplossingen van (*) m(2k+m+1)=2N voor N=1,2,...,20.Het verschil van de twee factoren in het linkerlid van (*) is 2k+1, dus oneven. Voor een oplossing moeten we dus 2N ontbinden in twee factoren van verschillende pariteit. De kleinste is dan nu m, de grootste is 2k+m+1.

Voorbeeld: N=15, dus 2N=30.

  • 30=30x1, geeft m=1, 2k+m+1=30, dus k=14. De splitsing bestaat uit 1 term (want m=1), en die term is k+1=15.

  • 30=2x15, geeft m=2, 2k+m+1=15, dus k=6. Twee termen, de eerste is 7. Oplossing: 7+8.

  • 30=3x10, m=3, 2k+m+1=10, k=3. Drie termen: 4+5+6.

  • 30=5x6, m=5, 2k+m+1=6, k=0. Vijf termen: 1+2+3+4+5.

In dit voorbeeld vinden we 4 oplossingen.

Aangezien in de opgave alleen het aantal oplossingen wordt gevraagd, is het uit schrijven niet nodig. Voor willekeurige N is het aantal splitsingen dus gelijk aan het aantal oneven delers van N (inclusief 1 en evt. N zelf).
Tabel:

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

1

2

2

1

2

2

2

1

3

2

2

2

2

2

4

1

2

3

2

2

Zaterdag 2 december:

Uit de analyse van gisteren volgt meteen dat dat de machten van 2 zijn.

Zondag 3 december:

Het getal 3k-1 heeft k oneven delers voor iedere k>0, en voldoet dus aan de eis.