Oplossingen week 47 (20 t/m 26 november)

Schuiven, draaien en spiegelen.

Maandag 20 november:

Bepaal de middelloodlijnen van AB en CD; het snijpunt M is het middelpunt van de rotatie.

Dinsdag 21 november:

De constructie van maandag berust op de keuze van twee paar overeenkomstige punten: het paar A,B en het paar C,D. Bij lijnstukken kun je de keus op twee manieren maken. In de figuur zijn alleen twee lijnstukken en de twee middelpunten getekend.

Woensdag 22 november:

Nu zijn er acht mogelijke rotatiepunten.

Donderdag 23 november:

Bepaal de middens van AB en CD. De spiegel gaat door deze middens.

 

Vrijdag 24 november:

Neem een willekeurig punt X op F, en stel het spiegelbeeld van X is Y. Dan is de afstand XS gelijk aan de afstand YS (S is het snijpunt van de spiegels). In de tweede spiegel gaat Y over in Z, en dan is YS = ZS. Samengevat: voor ieder punt X van F is de afstand tot S gelijk aan de afstand van het 2-maal gespiegelde punt tot S. Het is intuitief duidelijk dat het resultaat van twee spiegelingen geen spiegeling is, dus: een draaiing of een verschuiving. Omdat de afstanden tot S niet veranderen, is het totaal resultaat een draaiing om S.

Zaterdag 25 november:

De gevraagde hoek is tweemaal zo groot als de hoek tussen de spiegels.

Zondag 26 november:

Stel we draaien over een hoek a om een centrum C, en we spiegelen in een spiegel S1. Als het resultaat een schuifspiegeling is, dan kunnen we met de constructie van donderdag de bijbehorende spiegel S2 bepalen. We kiezen een punt A zo dat de lijn AC een hoek a/2 met de spiegel S1 maakt. De beelden A' en C' van A resp. C zijn nu eenvoudig te bepalen.De spiegel S2 gaat dan door de middens van AA' en CC'. Het is nu (dank zij de handige keuze van A) duidelijk dat de hoek tussen S1 en S2 ook a/2 is, en dat de lijnstukken AC en A'C' evenwijdig aan S2 zijn. Nu moeten we nog laten zien dat ook een willekeurig punt B evenver van S2 ligt als z'n beeld B', en dat de verschuiving van B even groot is als die van A (en C). Omdat er noch bij draaien noch bij spiegelen afmetingen veranderen, zijn de driehoeken ABC, A1B1C en A'B'C' congruent. (Het punt B moet dus a.h.w. meedoen met A en C) We moeten nu alleen nog nagaan dat de afstand tussen van C tot S2 gelijk is aan de afstand van C' tot S2, maar dat is heel eenvoudig.