Oplossingen week 44 (30 oktober t/m 5 november)

Invarianten.

Maandag 30 oktober:

De som van de 2001 getallen is oneven (ga dit na zonder de som te berekenen). Verder weten we: a+b en a-b hebben dezelfde pariteit. Dus na iedere zet is de som van de getallen nog steeds oneven. Je kunt dus niet op "slechts nullen" uitkomen.

Dinsdag 31 oktober:

Kleur de sectoren om en om rood en wit, zodat de enen in de witte sectoren staan. Het verschil tussen de som in de witte sectoren (1+1+0) is nu 2 groter dan in de rode sectoren (0+0+0), en dat blijft zo.

Woensdag 1 november:

Het resultaat is per getal gelijk aan de rest bij deling door 9 van dat getal. Er zijn 111 getallen die een 9-voud+1 zijn, en 110 getallen die een 9-voud+2 zijn. Dus 1 komst het vaakst voor.

Donderdag 2 november:

De som van de kwadraten verandert niet! Immers: ((3a+4b)/5)² + ((4a-3b)/5)² = (9a² + 16b² + 24ab + 16a² + 9b² - 24ab)/25 = a² + b².

Vrijdag 3 november:

Het valt op dat ab + a + b = (a+1)(b+1) - 1. Dit betekend o.a. dat ook de nieuw gevormde getallen met een worden vermeerderd voordat ze worden vermenigvuldigd (waarna er weer 1 afgaat). Het resultaat is dus 21! - 1.

Zaterdag 4 november:

Kleur de hoekpunten zwart en wit zoals in de figuur. De som van de getallen bij de zwarte hoekpunten verschilt nu 1 van de som van de getallen bij de witte hoekpunten. Aangezien iedere ribbe een zwart en een wit eindpunt heeft, zal dit zo blijven!

Zondag 5 november:

Een uur is 60 minuten. Stel x keer komen er 2 bij, en dus 60 - x keer gaat er een weg. Dan zou moeten gelden 2x-(60-x)=80, ofwel 3x=140. Dat kan dus niet.