Kalender 2000

Antwoorden week 33 (14 t/m 20 augustus)

Nimspelletjes.

Maandag 14 augustus:

(zie figuur hieronder)
We stellen de mogelijke "stellingen" die bij dit spelletje kunnen optreden, voor in een vierkant schema. De twee coördinaten die bij een vakje horen, corresponderen met de plaatsen van de twee pionnen. De beginsituatie is dus het vakje rechts-boven. Hier is een analyse "van achter af" wel handig. Beide spelers zullen er naar streven om een van de situaties met die met A gemerkt zijn te maken. Dat kan vanuit iedere situatie die met x is gemerkt. Een speler die in een B-situatie zit, is gedwongen om naar zo'n x-situatie te gaan. Dus: beide spelers zullen er naar streven om een B-situatie te maken. Zo verder redenerend vinden we de C- en D-situaties. De conclusie is dat de speler die begint, kan winnen door van (7,7) naar (7,5) te gaan, d.w.z. door een van de pionnen op veld 5 te zetten.

Dinsdag 15 augustus:

Uit de oplossing van gisteren kun je wel zien dat de situaties die de spelers willen maken, de volgende eigenschap hebben: de som van de 2 vakjes-getallen is een 3-voud. Dit blijft waar voor alle beginsituaties. De speler die mag beginnen kan dus winnen door de pion van 11 naar 10 te schuiven. (8+10=18=6x3).

Woensdag 16 augustus:

De spelers moeten proberen de pionnen zo te verplaatsen dat de som van de coördinaten een 6-voud+3 is, dus in dit geval 15, 9 of 3.

Donderdag 17 augustus:

Inderdaad kan dat: de tweede speler zorgt ervoor dat de som van de coördinaten een 6-voud+3 wordt. Dat kan altijd.

Vrijdag 18 augustus:

(zie figuur hieronder)
Een schema als bij de oplossing van maandag brengt snel uitkomst. Speler 1 wint door de pion van 11 naar 8 te zetten. Zolang speler 2 niet naar veld 1 of 2 gaat, blijft speler 1 de pionnen steeds bij elkaar zetten!

Zaterdag 19 augustus:

De eerste speler moet beginnen met de pion van 5 naar 2 te spelen, zodat de situatie (4,3,2) ontstaat. Daarna moet hij steeds proberen een van de volgende situaties te maken: (3,3,1), (2,2,2), (2,1,1).

Zondag 20 augustus:

De situaties die je moet proberen te maken zijn (a,a,1) met 2<a<10, (8,7,2), (8,6,3), (8,5,4), (7,6,4), (7,5,3), (6,5,2), (4,3,2), (2,2,2) en (2,1,1).

De opsomming geeft geen inzicht in de achtergrond. Bij het normale nim-spel (met hoopjes lucifers) is het eindpunt niet 1, maar 0. De te maken situaties bij dat spel kun je vinden door alle aantallen in de opsomming met 1 te verminderen. In de situaties die je dan krijgt, is de regelmaat eenvoudiger uit te leggen (maar niet bepaald eenvoudig om zelf te vinden!). Neem de situatie (7,6,4) uit de opsomming van zo-even. Overal 1 eraf geeft (6,5,3). Deze getallen schrijven we tweetallig:

6

=

110

5

=

101

3

=

011

Som:

222

We hebben in iedere kolom het aantal enen geteld; deze aantallen zijn alledrie even. Dat is het kenmerk van de te maken situaties! Een uitzondering treedt nog op tegen het eind van het spel; daar moet je niet (1,1,0) maken, maar (1,0,0) of (1,1,1) als 0 het eindpunt is, dus (2,1,1) resp. (2,2,2) als 1 het eindpunt is.