Kalender 2000 |
Antwoorden week 28 (10 t/m 16 juli) Pentagram en Gulden Snede. Maandag 10 juli: Alle hoeken zijn 36 graden of veelvouden daarvan. De hoeken van de vijfhoeken zijn 3×36 = 108 graden, de punthoeken van het pentagram zijn 36 graden, en de basishoeken gelijkbenige driehoeken die de punten vormen van het pentagram zijn 2×36 = 72 graden. En de lichtgrijze gelijkbenige driehoeken, ten slotte, hebben ook weer basishoeken van 36 graden. Dinsdag 11 juli: PC = PD = QD = ... = tau, want de driehoek DPQ is gelijkvormig met driehoek DAB. Omdat hoek CQD = hoek CDQ, is driehoek CDQ gelijkbenig, dus CD = CP+CQ = tau+1. Woensdag 12 juli: Driehoek CDQ is gelijkvormig met driehoek DPQ, dus CD/DP = DQ/PQ, CD = (DP×CQ)/PQ = (tau×tau)/1 = (tau)2. Conclusie: tau+1 = (tau)2. De positieve oplossing van deze vergelijking is inderdaad (1+5)/2. Donderdag 13 juli: Die andere wortel is rho=(1-5)/2. Merk op dat tau×rho = -1, en dus is rho de 'omgekeerde' gulden-snede voorzien van een minteken. Vrijdag 14 juli: Als de grote rechthoek zijden heeft van (tau)2 en tau, heeft de kleinere rechthoek zijden van tau en (tau)2-tau = 1 Zaterdag 15 juli: In driehoek ABC zie je dat
alpha + beta = 90 graden, en bij hoek B zie je dat beta + 2×gamma = 90
graden. Dus alpha = 2×gamma. Omdat tan(gamma) = 1/tau (zie driehoek BCD)
vinden we nu tan(2×gamma) = 2tan(gamma)/(1-tan2(gamma)), en
dit is te herleiden tot 2. Zondag 16 juli: Laat M het middelpunt van de cirkel zijn en r zijn straal. Pas nu in driehoek AMC de cosinusregel toe. Als we AC=x noemen, vinden we dan de vierkantsvergelijking x2-(rx3)/2 + (3r2)/4 = 0, met de oplossing x = (r/4)(3+15). Met AB=(r3)/2 vinden we dan BC=r(15-3)/4, en tenslotte AB/BC = tau. |