Oplossingen week 20 (15 t/m 21 mei)

Evenveel (2)

Maandag 15 mei:

b = a²/4

Dinsdag 16 mei:

b = a/2 als a even is; b = (1-a)/2 als a oneven is.

Woensdag 17 mei:

b = 2^a/3

Donderdag 18 mei:

b = 100a

Vrijdag 19 mei:

b = a/(1-a), aannemende dat de getallen 0 en 1 niet tot A behoren.

Zaterdag 20 mei:

We nemen aan dat de straal van de cirkelschijf gelijk is aan R. Voor B kunnen we elke rechthoek nemen, omdat het simpel is een koppeling tussen elk tweetal rechthoeken tot stand te brengen. We denken de schijf ingebed in het boven-halfvlak van een rechthoekig x0y-assenstelsel, waarbij de diameter langs de x-as valt, met het middelpunt van de diameter in de oorsprong. Het idee is natuurlijk dat we poolcoördinaten gebruiken. De koppeling die voor de hand ligt is:
(0,0) (0,0)
(r cos a, r sin a) (r,a) (0 < r R, 0 a )

De halve cirkelschijf A wordt hierdoor afgebeeld op C = { (r,a) | (0 < r R, 0 a ) } { (0,0) } .

C is echter geen rechthoek, We zullen nu een koppeling maken tussen C en B = { (r,a) | (0 r R, 0 a ) }.

Kies een oneindige rij getallen r₀, r₁, r₂, r₃, ..., zodanig dat 0=r₀<r₁<r₂<r₃<...<R.

De volgende afbeelding is een koppeling van B en C:
(r_n,a) ((r_n-1,a) (n 1, 0 < a )
overige punten (r,a) worden op zichzelf afgebeeld.
De twee aangegeven koppelingen tussen A en C en C en B kunnen eenvoudig gecombineerd worden tot een koppeling tussen A en B.

Zondag 21 mei:

Kies een oneindige rij getallen x₁,x₂,x₃,... in B, waarvoor geldt dat x₁<x₂<x₃<.... De volgende afbeelding A B is duidelijk een koppeling:
n x_2n, voor n>1,
x_n x_2n-1, voor n1,
x x, voor de overige getallen x.