Vierkant Kalender 1999

Oplossingen week 44 (1 t/m 7 november)

Roosterveelhoeken.

Opmerking: 1+2+...+n = n×(n+1)/2.

Maandag 1 november:

8 × ((8×7)/2) = 224.

Dinsdag 2 november:

49 (van 1 bij 1) + 36 (van 2 bij 2) + 25 + 16 + 9 + 4 + 1 = 140.

Woensdag 3 november:

((8×7)/2) x ((8×7)/2) = 784.

Donderdag 4 november:

Een vlieger heeft gewoonlijk 1 lijn van symmetrie. Neem even aan dat die lijn verticaal staat. Voor het drietal "top, horizontale diagonaal, onderste punt" zijn dan (8×7×6)/6 = 56 mogelijkheden. Voor linker- en rechterpunt moeten we 2 getallen van dezelfde pariteit kiezen uit {1, 2, ...., 8}. Dat kan op 2 × ((4×3)/2) = 12 manieren. Er zijn dus 56 × 12 vliegers die "rechtop" staan. Er zijn er evenveel met de lijn van symmetrie horizontaal. Maar ... nu hebben we de vierkanten dubbel geteld. Daarvan zijn er 12 × 12 = 144. Het gevraagde aantal is dus 2 × 56 ×x 12 - 144 = 1200.

Vrijdag 5 november:

(64×63)/2 = 2016.

Zaterdag 6 november:

3 roosterpunten kiezen kan op (64×63×62)/6 = 41664 manieren. Hiervan moeten we aftrekken het aantal mogelijkheden voor 3 roosterpunten in een rechte lijn:

1. 3 punten op een horizontale of verticale lijn: 2 × 8 × ((8×7×6)/6) = 896 gevallen.
2. 3 punten op een korte of lange diagonaal: 2 × {(1+4+10+20+35)×2 + 56} = 392 gevallen.
3. 3 punten op een lijn onder de hoek van de paardesprong: 4 × (4×1 + 10×4) = 176.
4. overige: 80

Het totaal van de gevallen onder A t/m D is 1544. Het gevraagde aantal is dus 41664 -1544 = 40120.

Zondag 7 november:

Voor de vierkanten warvan elke zijde horizontaal of verticaal is: zie dinsdag. De "scheve" vierkanten kunnen we vrij snel tellen door ze te onderscheiden naar de lengte van een zijde. (Neem aan dat de roosterafstand gelijk is aan 1). Er zijn er 6×6 = 36 met zijde 2, 2×5×5 met zijde 5, enz. In totaal kom je zo tot 196 scheve vierkantan.