Vierkant Kalender 1999

Oplossingen week 43 (25 t/m 31 oktober)

Modulair rekenen.

Maandag 25 oktober:

86 mod 8 = 6 en 97 mod 8 = 1. Dus de gevraagde rest is 6×1 = 6.

Dinsdag 26 oktober:

De modulus is hier steeds 10.
2² 4, 2⁴ = 2²×2² = 4×4 = 16 6.
2⁸ = 2⁴×2⁴ 6×6 6. Analoog hieraan zijn 2¹⁶, 2³² en 2⁶⁴ ook congruent 6 modulo 10.
Dus 2¹⁰⁰ = 2⁶⁴×2³²×2⁴

Woensdag 27 oktober:

Hier is de modulo steeds 7.
2³ = 8 1, dus ook 2⁴⁸ = (2³)¹⁶ 1¹⁶ = 1.
Dus 2⁴⁹+5 = 2⁴⁸×2+5 1×2 + 5 = 7 0 (mod 7): Ja!

Donderdag 28 oktober:

Bij vragen over even en oneven werken we in feite modulo 2. Maar dit vraagstukje is ook zonder modulo-rekenen op te lossen. Een produkt kan alleen maar oneven zijn als alle faktoren oneven zijn. En de som van een aantal oneven getallen is alleen maar oneven als dat aantal ook oneven is. Dus met 2, 4 of 6 getallen gaat het niet, met 3 of 5 wel (neem ze bijv. allemaal gelijk aan 1).

Vrijdag 29 oktober:

Noem de onleesbare cijfers x en y: 52x2y. Het getal moet deelbaar zijn door 36, dus door 4 en door 9. Voor deelbaarheid door 4 moet het getal gevormd door de 2 laatste cijfers deelbaar zijn door 4, dus y=0 of 4 of 8. Voor deelbaarheid door 9 moet de som van de cijfers deelbaar zijn door 9, dus x+y=0 of 9. Er zijn dus vier mogelijkheden:

x	0	9	5	1
y	0	0	4	8

Aannemende dat er een komma in het bedrag stond tussen het 3^e en 4^e cijfer, is het verschuldigde bedrag minimaal f 14,45 en maximaal f 14,70. Als hij dit aan de feestgangers uitlegt, zullen ze vermoedelijk allemaal f 15,- geven.

Zaterdag 30 oktober:

Voor een getal modulo 3 zijn in feite maar drie mogelijkheden: 0, 1, 2. Opdat een produkt een 3-voud + 1 is (dus gelijk aan 1 modulo 3), kunnen we geen 0 gebruiken.
Twee getallen: 1×1 1 en 2×2 1. Optellen: 1+1 2 en 2+2 1. Dus met twee getallen lukt het (bijvoorbeeld 2×5 = 10 en 2 + 5 = 7)
Drie getallen: 1×1×1 1, 1×2×2 1. Andere mogelijkheden voor produkt 1 zijn er niet. Maar de som is resp. 1+1+1 = 3 0 en 1+2+2 = 5 2. Met drie getallen gaat het dus niet.

Zondag 31 oktober:

Met 1 getal lukt het, en dus ook met 4, 7, 10, ... getallen (zet er maar 3 enen bij). Met 2 getallen kan het ook (zie zaterdag), dus ook met 5, 8, 11, ... getallen. Met 3 getallen kan het niet (zie zaterdag), maar met 6 getallen wel; neem bijvoorbeeld 1, 1, 2, 2, 2, 2. Dus het kan ook met 9, 12, 15, ... getallen. Conclusie: het lukt voor alle n, behalve n=3.