Vierkant Kalender 1999

Oplossingen week 36 (6 t/m 12 september)

Het Bakjesprincipe (2).

Maandag 6 september:

Verdeel het vierkant in vier vierkanten met zijde 1/2. Dan is er een klein vierkant waarin minstens 2 punten liggen. Punten binnen de kleine vierkanten hebben afstand (1/2)×2.

Dinsdag 7 september:

Verdeel het vierkant in 50 rechthoekjes van 1/10 bij 1/5. Volgens het bakjesprincipe is er dan zo'n rechthoekje dat tenminste 3 punten bevat. De driehoek gevormd door 3 zulke punten heeft een oppervlakte die ten hoogste de helft is van (1/10) x (1/5).

Woensdag 8 september:

De verzameling roosterpunten is op te delen in vier klassen:

1. beide coördinaten even,
2. beide coördinaten oneven,
3. de eerste coördinaat even, de tweede oneven,
4. de eerste coördinaat oneven, de tweede even.

Twee van de vijf hoekpunten van de vijfhoek vallen in dezelfde klasse. Het middelpunt M van het lijnstuk met die twee hoekpunten als eindpunten is weer een roosterpunt. Omdat alle binnenhoeken van de vijfhoek kleiner zijn dan 180 graden, ligt M binnen of op de vijfhoek.

Donderdag 9 september:

Gebruik de aanpak van woensdag. Nu vallen er drie hoekpunten P, Q en R in dezelfde klasse. De drie middens van de zijden van de driehoek PQR zijn roosterpunten en liggen op of binnen de negenhoek.

Vrijdag 10 september:

De roosterpunten hebben nu 3 coördinaten. Als we letten op het even of oneven zijn van die coördinaten, zijn er 2×2×2 = 8 klassen. Er zijn dus minstens 2 punten in dezelfde klasse. Enzovoort!

Zaterdag 11 september:

Laat P één van de 25 punten zijn. Trek een cirkel C₁ met straal 1 en middelpunt P. Als alle overige 24 punten binnen C₁ liggen, dan zijn we klaar. Stel dat Q (één van de overige 24 punten) op of buiten C₁ ligt. Trek de cirkel C₂ met straal 1 en middelpunt Q. Onder de resterende 23 punten kan geen punt R bestaan, dat noch binnen C₁, noch binnen C₂ valt; immers onder de drie punten P, Q en R zouden er dan geen twee voorkomen waarvan de onderlinge afstand kleiner is dan 1. Dus elk van de 23 punten valt binnen C₁ of C₂. Uit het bakjesprincipe volgt dat C₁ of C₂ minstens 12 + 1 = 13 punten bevat.

Zondag 12 september:

Stel dat er 124 vierkantjes van 1 bij 1 uit het vel V van 29 bij 29 geknipt zijn. Wordt van V in gedachten aan alle vier zijden een strook van 0,5 weggehaald, dan resteert een vel W van 28 bij 28. Laat C_i de cirkelschijf zijn met middelpunt M_i en straal 2 (1 i 124). Deze cirkelschijven, die mogelijk gedeeltelijk buiten V vallen, kunnen W niet volledig overdekken, immers de totale oppervlakte van de schijven is gelijk aan 124 × × 22 = 248 × = 770,1... < opp(W) = 784. Er is daarom een punt P van W zo dat de afstand van P tot elk van de punten M₁, M₂, ...., M₁₂₄ groter is dan 2. In de cirkelschijf met middelpunt P en straal (1/2)×2 is een vierkant te tekenen met zijde 1, waarvan de zijden evenwijdig zijn met de randen van V. Dit vierkant ligt binnen V en volledig buiten de 124 andere vierkanten, waarmee het gewenste resultaat bewezen is.