Vierkant Kalender 1999

Oplossingen week 33 (16 t/m 22 augustus)

Cirkels en roosterpunten.

Maandag 16 augustus:

Neem straal = 13.

Dinsdag 17 augustus:

Neem straal = 65 (65 = 8² + 1² = 7² + 4²).

Woensdag 18 augustus:

Dat is onmogelijk.

Donderdag 19 augustus:

Bijvoorbeeld de cirkels door (0,0), (2,1) en (2,-1).

Vrijdag 20 augustus:

Stel het roosterpunt (x,y) ligt op de cirkel. Dan is x² + y² = n. Maar de som van 2 kwadraten kan niet een 4-voud + 3 zijn.

Zaterdag 21 augustus:

Neem uit het gegeven 13-tal twee punten P en Q, zo dat de overige 11 aan één kant van de lijn door P en Q liggen. Nu zijn er cirkels door P en Q waarbinnen geen punten van het 13-tal liggen, en ook cirkels door P en Q waarbinnen alle 11 overige punten liggen. Bekijk nu de 11 door P, Q en een overig punt, en laat het aantal punten steeds met 1 toenemen.

Zondag 22 augustus:

Hulpstelling: De cirkels met middelpunt (,2) hebben op hun omtrek ten hoogste 1 roosterpunt.
Bewijs: Stel op zo'n cirkel liggen de roosterpunten (m,n) en (M,N). Dan geldt (m-)2 + (n-2)2 = (M-)2 + (N-2)2. Dit is om te werken tot (*) (M-m)(M+m-2) = (n-N)(n+N-22). We onderscheiden twee gevallen:

1. Als n=N, is het rechterlid 0, dus het linkerlid ook. Dus M=m of M+m-2 = 0. Het eerste betekent dat (m,n) en (M,N) samenvallen, het tweede is onmogelijk.
2. Als n niet gelijk is aan N, Kunnen we (*) als volgt schrijven: (M-m) / (n-N) = (n+N-22) / (M+m-2). Nu staat links een rationaal getal (een breuk) maar het rechterlid is voor geen enkel 4-tal m, n, M, N rationaal.
   Cirkels met middelpunt (,2) (of een ander "onregelmatig" middelpunt) hebben dus of 0 of 1 roosterpunt op de omtrek. Stel de stralen waarvoor dat aantal roosterpunten 1 is, zijn r1 < r2 < r3 < ..... Neem nu de cirkels met stralen (r1+r2)/2, (r2+r3)/2, (r3+r4)/2, ... Het aantal roosterpunten binnen deze cirkels neemt steeds met 1 toe!