Vierkant Kalender 1999

Oplossingen week 30 (26 juli t/m 1 augustus)

Hilbert Hotels.

Maandag 26 juli:
De portier laat alle gasten één kamer opschuiven (wie in kamer n zat gaat naar kamer n+1). Kamer 1 komt nu vrij.
Dinsdag 27 juli:
Wie in kamer n zat gaat naar kamer n+33. Er zijn nu genoeg kamers vrij.
Woensdag 28 juli:
Wie in kamer n zat gaat naar kamer 2n. Alle kamers mat een oneven nummer komen vrij.
Donderdag 29 juli:
Ja, wie in kamer n zat, gaat naar kamer 4n. De kamers 4n+i komen dan vrij voor de gasten op verdieping i van hotel Speghetti (i=1,2,3).
Vrijdag 30 juli:
Eerst laten we de gasten als volgtverhuizen: wie in kamer n zit gaat naar kamer n(n+1)/2. De bezette kamers zijn dan 1, 3, 6, 10, 15, 21, ..., zodat er steeds langer wordende rijtjes vrije kamers zijn. De gasten van Wolkenkrabberhotel kunnen we dan in groepjes van 1, 2, 3, 4, ... indelen zoals in het plaatje is aangegeven.
Zaterdag 31 juli:
Nee, ook in dat schijbaar grotere hotel kunnen de gasten worden verdeeld in eindige (steeds groter wordende) groepjes, en die kunnen tussen de andere gasten van bijvoorbeeld hotel Macaroni worden geplaatst mits die voldoende ver zijn opgeschoven.
Zondag 1 augustus:
Deze oplossing is verwant aan die van vrijdag.
Neem eerst de positieve breuken p/q. We sorteren ze naar opklimmende waarden van p+q. Breuken die dezelfde waarden van p+q hebben sorteren we naar de waarde van p. We krijgen dan 1/1, 1/2, 2/1, 1/3, 2/2, 3/1, 1/4, 2/3, 3/2, 4/1, ... Zo zie je dat er "evenveel"positieve breuken als natuurloijke getallen zijn. Voor de negatieve breuken kun je net zoiets doen, en die dan "ritsen" met de positieve breuken.