Vierkant Kalender 1999

Oplossingen week 17 (26 april t/m 2 mei)

Wortels

Maandag 26 april:
Stel 5=a/b, dan is a2 = 5b2. Nu staat links een even aantal factoren 5 en rechts een oneven aantal.
Tegenspraak!
Dinsdag 27 april:
Bijvoorbeeld a=4, b=9 en c=25.
Woensdag 28 april:
Omdat de getallen positief zijn, is het voldoende om aan te tonen dat (a + b)2 = a + 2ab + b = c + 2ab > c = (c)2 (Het gegeven "gehele" is overbodig.)
Donderdag 29 april:
Er geldt: (a - b) * (a + b) = a - b, dus a - b = a - b / a + b, waaruit volgt dat a - b een rationaal getal is. Noem dit getal r. Verder geldt:
(a + b)2 = a + b + 2 * ab (1)
(a - b)2 = a + b - 2 * ab (2)
Uit (1) volgt dat 2 * ab een geheel getal is. Daarna volgt uit (2) dat (a - b)2 = r2 een geheel getal is. Dus a = 1/2 * [(a + b) + (a - b)] en b = 1/2 * [(a + b) - (a - b)] zijn rationele getallen en daarom ook gehele getallen. Hierbij is gebruik gemaakt van de volgende eenvoudig te bewijzen eigenschap: als n een natuurlijk getal is waarvoor n rationaal is, dan is n zelf een geheel getal.
Vrijdag 30 april:
(a-b)2 0 a2 - 2ab + b2 0 a2 + 2ab + b2 4ab (a+b)2 4ab a + b 2ab
Zaterdag 1 mei:

Het aantal cijfers van a is (ongeveer) de helft van dat van a. Specifieker: als n even is, n = 2m, dan is 102m-1 a < 102m, dus 10m-1 < 10m-1/2 a < 10m, dus a heeft m = n/2 cijfers. Als n oneven is, n = 2m+1, dan is 102m a < 102m+1, dus 10m a < 10m+1/2 < 10m+1, dus a heeft m+1 cijfers.

Samengevat: a heeft n/2 cijfers.

Zondag 2 mei:
391353931/5=33 (5de machts wortel)