Vierkant Kalender 1999

Oplossingen week 9 (1 t/m 7 maart)

Maandag 1 maart:
Voor het gemak brengen we een assenstelsel zo aan, dat de vlo begint in de oorsprong en steeds langs de x-as springt.
Na 1 seconde is de vlo in -1 of +1; na 2 seconden in -2, 0 of +2; na 3 seconden in -3, -1, 1 of 3 en na 4 seconden in -4, -2, 0, +2 of +4.
Dinsdag 2 maart:
Stel de vlo springt L keer naar links. Dan is hij na 25 seconden in -L + 25 -L = 25 - 2L. Er is gegeven dat L kleiner of gelijk 10. De vlo kan dus in 25, 23, 21, 19, 17, 15, 13, 11, 9, 7 of 5 zijn.
Wornsdag 3 maart:
Na 1 seconde in -1 of 2; na 2 seconden in -2, 1 of 4; na 3 seconden in -3, 0, 3 of 6; na 4 seconden in -4, -1, 2, 5 of 8.
Donderdag 4 maart:
Na 1 seconde in -1 of 1; na 2 seconden in -3, -1, 1 of 3; na 3 seconden in -6, -4, -2, 0, 2, 4 of 6; na 4 seconden in -2i en 2i met i element van { 0, 1, 2, 3, 4, 5}.
Vrijdag 5 maart:
Als je overal een plusteken zet, is de som even; vervang je nu ergens een plusteken door een minteken, dan gaat er een even getal van die som af. Je kunt dus niet op 1999 uitkomen.
Zaterdag 6 maart:
Kies het assenstelsel zo, dat de laatste molshoop in de oorsprong ligt, en zo, dat de mol zich steeds evenwijdig aan of langs een as beweegt. Neem een decimeter als eenheid. De volgende molshoop kan dan alleen in een punt (x,y) met |x| + |y| = 2i; i =0,1,2,3,4,5
Zondag 7 maart:

We nemen aan dat de slak zich steeds evenwijdig aan de tafelrand beweegt, en dat hij "links" en " rechts" steeds met kans 1/2 kiest, onafhankelijk van de voorgeschiedenis.

Uit het gegeven volgt dat de slak afwisselend horizontale en verticale "stappen" doet. Voor het moment negeren we de bewegingen in verticale richting. (We projecteren a.h.w. de gang van de slak op de x-as). De kans dat de slak na 24 uur nog niet tot de rechter- of linkerrand van de tafel is gekomen, is eenvoudig numeriek te bepalen.

Bij de start zit de slak met kans 1 in het punt x = 0. Na 2 uur zit hij in 1 of in -1; beide mogelijkheden kunnen op evenveel manieren ontstaan: dit correspondeert met de twee enen in rij 2 van tabel 1. Zowel vanuit 1 als vanuit -1 kan de slak terug naar 0; bovendien kan de slak vanuit 1 naar 2 en vanuit -1 naar -2; zie rij 3 van tabel 1. Vanaf de 10e rij worden de rijen afgeknot i.v.m. de mogelijkheid dat de slak de rand bereikt.

Uit de laatste rij van onderstaande tabel blijkt: de kans dat de slak na 24 uur noch de rechterrand noch de linkerrand bereikt heeft is:
(275 + 725 + 900 + 725 + 275) / 212 = 0,7080.
Voor boven- en onderrand geldt hetzelfde, dus de gevraagde kans is het kwadraat: 0,5013.

Plaats

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

Start

    

1

     

Na 2 u

   

1

 

1

    

Na 4 u

  

1

 

2

 

1

  

Na 6 u

 

1

 

3

 

3

 

1

 

Na 8 u

1

 

4

 

6

 

4

 

1

Na 10 u

 

5

 

10

 

10

 

5

 

Na 12 u

5

 

15

 

20

 

15

 

5

Na 14 u

 

20

 

35

 

35

 

20

 

Na 16 u

20

 

55

 

70

 

55

 

20

Na 18 u

 

75

 

125

 

125

 

75

 

Na 20 u

75

 

200

 

250

 

200

 

75

Na 22 u

 

275

 

450

 

450

 

275

 

Na 24 u

275

 

725

 

900

 

725

 

275